Logarithmus-Rechner
Der Logarithmus beantwortet die Frage «hoch wie viel?». Numerus und Basis eintragen — der Exponent erscheint, mit der Probe darunter.
Numerus eintragen — der Logarithmus erscheint sofort.
Was der Logarithmus eigentlich ist
Potenz, Wurzel und Logarithmus sind dieselbe Gleichung, dreimal nach einer anderen
Unbekannten aufgelöst. In 2³ = 8 gilt:
- Die Potenz sucht die 8 — Basis und Exponent sind bekannt.
- Die Wurzel sucht die 2 — Ergebnis und Exponent sind bekannt.
- Der Logarithmus sucht die 3 — Basis und Ergebnis sind bekannt.
Deshalb heißt es log₂ 8 = 3: «2 hoch wie viel ergibt 8?» Und deshalb steht im
Ergebnis oben immer eine Probe — die Basis, hoch den gefundenen Exponenten, muss wieder
den Numerus ergeben.
log, ln und ld — welcher wann
Der Rechner nimmt jede Basis entgegen. Drei kommen so oft vor, dass sie eigene Namen haben:
- log — Basis 10, der Zehnerlogarithmus. Zählt Größenordnungen: Dezibel, pH-Wert, Richterskala.
- ln — Basis e ≈ 2,718…, der natürliche Logarithmus. Kommt überall dort vor, wo etwas stetig wächst oder zerfällt: Zinseszins, Halbwertszeit.
- ld — Basis 2, der binäre Logarithmus. Zählt Verdopplungen und damit Bits: ld 1024 ist 10.
| Numerus | log | ln | ld |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 2,302585 | 3,321928 |
| 100 | 2 | 4,60517 | 6,643856 |
| 1.000 | 3 | 6,907755 | 9,965784 |
| 10.000 | 4 | 9,21034 | 13,287712 |
| 100.000 | 5 | 11,512925 | 16,60964 |
Der Zehnerlogarithmus einer Zehnerpotenz ist einfach die Zahl der Nullen. Das ist kein Zufall, sondern die Definition: 10 hoch 3 ist 1000, also ist log 1000 gleich 3.
Die drei Rechenregeln
Logarithmen machen aus Multiplikation Addition — dafür wurden sie erfunden, und deshalb rechnete man vier Jahrhunderte lang mit Rechenschieber und Logarithmentafel.
log(a · b) = log a + log blog(a ÷ b) = log a − log blog(aⁿ) = n · log a
Aus der letzten Regel folgt der Basiswechsel, mit dem dieser Rechner arbeitet:
log_b(x) = ln x ÷ ln b. Jeder Logarithmus lässt sich also aus einem einzigen
berechnen — weshalb Taschenrechner nur zwei Tasten dafür brauchen.
Zwei Dinge gehen nicht: der Logarithmus von null oder einer negativen Zahl, denn keine positive Basis wird durch Potenzieren jemals null oder negativ. Und die Basis 1, denn 1 hoch alles ist 1.