Satz des Pythagoras
a² + b² = c². Zwei Seiten eintragen, die dritte erscheint — mit dem Rechenweg in Quadraten, wie er ins Heft gehört.
Zwei Seitenlängen eintragen — die dritte erscheint sofort.
Die Formel in beide Richtungen
Der Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck, und c ist immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel — die längste. Wer c und a kennt und b sucht, stellt um:
- Hypotenuse gesucht:
c = √(a² + b²) - Kathete gesucht:
b = √(c² − a²)
Daran scheitern die meisten Rechnungen: beim Umstellen wird addiert statt subtrahiert. Eine schnelle Probe: kommt für die Kathete ein Wert heraus, der größer ist als die Hypotenuse, war es die falsche Formel. Der Rechner oben lässt das gar nicht erst zu — er sagt, dass c größer sein muss als a.
Pythagoreische Tripel: wenn die Wurzel glatt aufgeht
Meistens ist die dritte Seite eine krumme Zahl. Bei ein paar Kombinationen nicht: drei ganze Zahlen, die den Satz exakt erfüllen, heißen pythagoreisches Tripel. In Schulaufgaben tauchen fast immer diese auf — wer sie erkennt, spart sich den Taschenrechner.
| a | b | c | a² + b² = c² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
| 12 | 35 | 37 | 144 + 1.225 = 1.369 |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1.600 = 1.681 |
| 28 | 45 | 53 | 784 + 2.025 = 2.809 |
| 11 | 60 | 61 | 121 + 3.600 = 3.721 |
| 33 | 56 | 65 | 1.089 + 3.136 = 4.225 |
| 13 | 84 | 85 | 169 + 7.056 = 7.225 |
«Primitiv» heißt: die drei Zahlen haben keinen gemeinsamen Teiler. Jedes Vielfache ist wieder ein Tripel — 3-4-5 wird zu 6-8-10, 9-12-15 und so weiter. Deshalb steht 6-8-10 nicht in der Tabelle: es ist dasselbe Dreieck, nur größer.
Wozu man das außerhalb der Schule braucht
Die Diagonale eines Rechtecks ist die Hypotenuse: ein Bildschirm mit 60 cm Breite und 34 cm Höhe misst in der Diagonale rund 69 cm. Ein Schrank, der aufgerichtet werden soll, braucht in der Höhe mindestens seine Diagonale — sonst schrammt er an der Decke.
Und auf der Baustelle geht es andersherum: Wer prüfen will, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist, misst 3 m an der einen Seite, 4 m an der anderen und dann die Verbindung. Genau 5 m heißt rechter Winkel. Das ist der 3-4-5-Trick, und er ist buchstäblich der Satz des Pythagoras rückwärts gelesen.
Wurzeln und Potenzen einzeln rechnet der Wurzelrechner, Längen auf einem Plan der Maßstab-Rechner.