Nullstellen-Rechner

Bevor irgendetwas gerechnet wird, steht die Antwort auf die Frage «wie viele Lösungen gibt es?» schon fest. Sie steckt unter der Wurzel der Mitternachtsformel und heißt Diskriminante: D = b² − 4ac.

• D > 0 — zwei verschiedene Nullstellen. Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
• D = 0 — eine doppelte Nullstelle. Die Parabel berührt die x-Achse; der Punkt ist zugleich der Scheitel.
• D < 0 — keine reelle Nullstelle. Die Parabel schwebt ganz über oder ganz unter der x-Achse.

Der dritte Fall ist keine Fehlermeldung, sondern ein Ergebnis. Der Rechner oben sagt das auch so und zeigt trotzdem den Scheitelpunkt — der verrät nämlich, wie weit die Parabel an der Achse vorbeigeht.

Beide führen zum selben Ergebnis, aber nur eine funktioniert immer.

Die Mitternachtsformel — x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a — nimmt die Gleichung so, wie sie dasteht. Damit rechnet dieser Rechner.

Die p-q-Formel — x = −p/2 ± √((p/2)² − q) — setzt die Normalform voraus, also a = 1. Wer sie auf 2x² + 6x + 4 = 0 anwendet, ohne vorher durch 2 zu teilen, bekommt falsche Werte. Das ist der häufigste Fehler in Klassenarbeiten zu diesem Thema, und er fällt nicht auf, weil die Formel ein plausibles Ergebnis liefert.

Die Probe ist billig: beide Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen. Kommt null heraus, stimmt es. Deshalb steht im Ergebnis oben auch die faktorisierte Form — dort ist auf einen Blick zu sehen, welche Werte die Klammern zu null machen.

Ohne c (also ax² + bx = 0): ausklammern reicht, x(ax + b) = 0. Eine Nullstelle liegt immer bei 0. Die Formel liefert dasselbe, aber der kürzere Weg spart Zeit.

Ohne b (also ax² + c = 0): direkt nach x² auflösen und die Wurzel ziehen. Auch hier ist die Formel nicht falsch, nur umständlich.

Mit a = 0: das ist gar keine quadratische Gleichung mehr, sondern eine lineare mit genau einer Lösung. Der Rechner merkt das und rechnet entsprechend, statt durch null zu teilen.

Potenzen und Wurzeln einzeln rechnet der Potenzrechner, Brüche der Bruchrechner.